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By Heinz Lüneburg (auth.)

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Also ist Kern (

1 eine Untergruppe von LZ (+) ist, q. e. d. Ist U eine nieht-leere Teilmenge von G und erfUllt U die Bedingung (2) fUr Untergruppen, so nennen wir U multiplikativ abgesehlossen. Statt multiplikativ abgesehlossen, sagt man natilrlieh additiv abgesehlossen, wenn die Verknupfung additiv gesehrieben wim. 3. Hilfssatz. Ist U eine nieht-leere, endliehe Teilmenge der Gruppe G, so ist U genau dann eine Untergruppe von G, falls U multiplikativ abgesehlossen ist. Beweis. Jede Untergruppe einer Gruppe ist multiplikativ abgesehlossen.

Dann ist xa = (y,)a = y(,a) = yi~ = y, q. e. d. 3. Satz. p sei eine Abbildung der Menge M in die Menge N. Genau dann ist p bijektiv, wenn es zwei Abbildungen a und , von N in Mgibt mit po = i~ und ,p = i~. Beweis. 2 bijektiv. p sei also bijektiv. 1st yEN, so gibt es genau ein x EMmit yp- = {xl. Wir definieren p-1 durch yp-1 = x. Dann ist p-1 eine Abbildung von N in Mmit xpp-1 = x = xi~ fUr alle x E Muro yp -1 p = Y = yi~ ffir alle yEN. Auf Grund unserer Bemerkung tiber die Gleichheit zweier Abbildungen ist also pp-1 = i~ und p-1p = i~, q.